这是一个数学问题，涉及到找出满足特定条件的最小正整数。问题的核心在于找到一个数，这个数除以2、3、4、5、6时余数均为1，而除以7时余数为0。我们可以通过列出这些条件来寻找答案：
除以2余1：
这意味着数字是奇数。
除以3余1：
这意味着数字减去1后能被3整除。
除以4余1：
这意味着数字减去1后能被4整除，即数字以1、5、9结尾。
除以5余1：
这意味着数字减去1后能被5整除，即数字以1、6结尾。
除以6余1：
这意味着数字减去1后能被6整除，即数字以1、5结尾。
除以7余0：
这意味着数字能被7整除。
结合以上条件，我们可以推断出满足所有条件的最小正整数是301。这是因为301除以2、3、4、5、6时余数均为1，同时它也能被7整除。
因此，答案是：少年的篮子里最少有301个鸡蛋。