这是一个经典的脑筋急转弯问题，旨在考察解题者的思维灵活性和逻辑推理能力，需要跳出常规的数学计算方式去寻找答案。
答案是： 666只。
解析：
1. 每个屋角上坐着一只猫，共有4只猫。
2. 每只猫的前面有三只猫，但由于每只猫同时也是其他三只猫的前面，因此这12只猫实际上是重叠计算的。
3. 每只猫的尾巴上还有一只猫，同样地，由于每只猫同时也是其他三只猫的尾巴，因此这4只猫也是重叠计算的。
将上述计算结果相加：4（屋角上的猫）+ 12（每只猫前面的猫）+ 4（每只猫尾巴上的猫）= 20只猫。
但是，这个答案是错误的，因为它没有考虑到题目中的隐藏条件。正确的解法是：
1. 每个屋角上坐着一只猫，共有4只猫。
2. 每只猫的前面有三只猫，但由于每只猫同时也是其他三只猫的前面，因此这12只猫实际上是重叠计算的。
3. 每只猫的尾巴上还有一只猫，同样地，由于每只猫同时也是其他三只猫的尾巴，因此这4只猫也是重叠计算的。
4. 题目要求的是“一共有多少只猫”，而不是“一共有多少只猫的前面有三只猫”或“一共有多少只猫的尾巴上还有一只猫”。
因此，正确答案是666只猫。